viernes, 25 de septiembre de 2009

Métodos Numéricos

Gracias al desarrollo de la tecnología, específicamente la de los computadores personales y los digitales de alta capacidad y rapidez, se genero una ventaja para los métodos numéricos, al ponerlos al alcance de todos, ya que estos se ejecutan con base en procedimientos repetitivos de fácil programación.


Considerados de igual modo como una alternativa viable y asequible, entre los aproximados, y los únicos capaces de dar solución a problemas tridimensionales con fronteras arbitrarias. Dentro de estos se encuentran; método las diferencias finitas, método iterativo y método de la relajación. En este espacio se hará referencia al último de ellos.

Método de la Relajación

Mejora
el método de la iteración simple y, esencialmente, consiste en definir un residuo en todos los nodos de la malla de cálculo, después de asignar a cada uno un valor arbitrario del potencial eléctrico; y anular luego, en cada paso, el residuo que tenga mayor valor absoluto, modificando el potencial en el mismo punto y los residuos en aquellos puntos que sean vecinos inmediatos de éste.

  • Residuo

En un nodo típico, 0, cuyos vecinos mas cercanos son los nodos 1,2,3 y 4, representa el error cometido en el nodo durante el proceso de aproximaciones sucesivas al valor definitivo y se define, suponiendo cuadrada la malla de cálculo, con:

El residuo, definido anteriormente, se anula al agregarle la cantidad delta del mismo, que se obtiene al cambiar el valor del potencial eléctrico en delta de este, sin alterar los valores de la función desconocida en los nodos vecinos, así:


Como el valor del potencial eléctrico en el nodo 0 influye en el cálculo de los residuos de los nodos que son vecinos inmediatos, al cambio en este provoca una modificación en aquellos, de valor:



  • Procedimiento

1. Cuadricular la región.


2. Asignar a cada nodo un valor del potencial eléctrico, el cual puede ser cero o el resultado de una estimación razonable, y calcular el residuo en cada nodo.


3. Relajar el nodo de mayor valor absoluto; para ello:


3.1 Anular su residuo, al sumarle:



3.2 Cambiar su potencial, con:


3.3 Cambiar los residuos vecinos, con:


4. Repetir el paso anterior. Parar, cuando el residuo sea cero en todos los nodos de la malla de cálculo ó tan pequeños como la precisión buscada lo permita; en ese momento los valores obtenidos para la función desconocida satisfacen cada una de las ecuaciones de nodo y se tiene la solución definitiva.

5. Cuando un nodo de la malla de cálculo no equidista de sus vecinos inmediatos, en aquél puede definirse el residuo, la forma de anularlo y los cambios que deben hacerse en los valores del potencial escalar eléctrico en el mismo nodo y de los residuos de los nodos vecinos, con base en la ecuación general para el potencial del nodo obtenida por diferencias finitas.

Ejemplo


Hallar, usando el método de la relajación, el potencial escalar eléctrico, dentro de un prisma cuadrado en el que tres de las caras tienen potencial cero y en la cuarta este potencial es de 100 [V].

Para dar solución al problema planteado es necesario plantear algunos pasos y seguirlos como se muestra a continuación:

  • Se usa una cuadricula, como la que se verá al final de esta solución.
  • Se asigna a cada uno de los nodos de la cuadrícula el mismo valor inicial del ejemplo anterior y se calculan los residuos respectivos.
  • Se relajan los nodos buscando anular su residuo y, para facilitar los cálculos, los residuos se corrigen con cantidades divisibles por 4 (por la ecuación planteada inicialmente). Los primeros residuos que se anulan son los de los nodos 7 y 9, que son los mayores; se sigue con los correspondientes a 1 y 3.
  • Se repite el proceso hasta que todos los residuos sean menores de |0,4|, pues se desean calcular los potenciales con precisión de una décima.


A continuación, la figura expondrá los pasos mencionados previamente.













Bibliografía

  • http://books.google.com.co/books?id=QWdmWzCixaIC&pg=PA221&lpg=PA221&dq=campos+electromagneticos+metodo+de+la+relajacion&source=bl&ots=QCsc3KjPJ6&sig=doWvKCx70F8O-bf-p1Tb4jWdV7g&hl=es&ei=jJu6SqXfBYyxtgeU9qnwDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#v=onepage&q=&f=false
  • Notas Breves - Curso de Teoría Electromagnética